Istnieją trzy techniki używane w CV, które wydają się bardzo do siebie podobne, ale z subtelnymi różnicami: Laplacian of Gaussa: $ \ nabla ^ 2 \ left [g (x, y, t) \ ast f (x, y) \ right] $ Różnica Gaussa: $ \ left [g_1 (x, y , t) \ ast f (x, y) \ right] – \ left [g_2 (x, y, t) \ ast f (x, y) \ right] $ Konwolucja z falka Rickera : $ \ textrm {Ricker} (x, y, t) \ ast f (x, y) $ Jak Obecnie to rozumiem: DoG jest przybliżeniem LoG. Oba są używane do wykrywania obiektów blob i oba działają zasadniczo jako filtry pasmowo-przepustowe. Wydaje się, że konwolucja z falką Mexican Hat / Ricker daje bardzo podobny efekt. Zastosowałem wszystkie trzy techniki do sygnału impulsowego (z wymaganym skalowaniem, aby uzyskać podobne wielkości) i wyniki są cholernie bliskie. W rzeczywistości LoG i Ricker wyglądają prawie identycznie. Jedyna prawdziwa różnica Zauważyłem, że w przypadku DoG miałem 2 darmowe parametry do dostrojenia ($ \ sigma_1 $ i $ \ sigma_1 $) w porównaniu z 1 dla LoG i Rickera. Zauważyłem również, że falka była najłatwiejsza / najszybsza, ponieważ można to zrobić za pomocą pojedynczego splot (wykonywany przez mnożenie w przestrzeni Fouriera z FT jądra) vs 2 dla DoG i splot plus Laplacian dla LoG. Jakie są porównawcze zalety / wady każdej techniki? Czy istnieją różne przypadki użycia, w których jeden przyćmiewa inne? Intuicyjnie myślę, że na próbkach dyskretnych LoG i Ricker degenerują się do tej samej operacji, ponieważ $ \ nabla ^ 2 $ można zaimplementować jako jądro $$ \ begin {bmatrix} -1, & 2, & -1 \ end {bmatrix} \ quad \ text {lub} \ quad \ begin {bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \ end {bmatrix} \ quad \ text {dla obrazów 2D} $$. Zastosowanie tej operacji do gaussa daje początek falce Ricker / Hat. Co więcej, ponieważ LoG i DoG są powiązane z równaniem rozpraszania ciepła, uważam, że mógłbym dopasować oba przy wystarczającej liczbie parametrów. (Wciąż jestem mokry od tych rzeczy, aby móc to poprawić / wyjaśnić!) Laplace of Gaussian Laplace of Gaussian (LoG) obrazu $ f $ można zapisać jako $$ \ nabla ^ 2 (f * g) = f * \ nabla ^ 2 g $$ z $ g $ jądrem Gaussa i $ * $ splotem. Oznacza to, że Laplace obrazu wygładzonego przez jądro Gaussa jest identyczne z obraz spleciony z Laplacea jądra Gaussa. Ten splot można dalej rozwinąć, w przypadku 2D, jako $$ f * \ nabla ^ 2 g = f * \ left (\ frac {\ part ^ 2} {\ częściowe x ^ 2} g + \ frac {\ częściowe ^ 2} {\ częściowe y ^ 2} g \ right) = f * \ frac {\ częściowe ^ 2} {\ częściowe x ^ 2} g + f * \ frac {\ part ^ 2} {\ part y ^ 2} g $$ Zatem można go obliczyć jako dodanie dwóch zwojów obrazu wejściowego z drugą pochodną Jądro Gaussa (w 3D są to 3 zwoje itd.) Jest to interesujące, ponieważ jądro Gaussa można rozdzielić, podobnie jak jego de rywalizacje. To znaczy $$ f (x, y) * g (x, y) = f (x, y) * \ left (g (x) * g (y) \ right) = \ left (f (x, y) * g (x) \ right) * g (y) $$ co oznacza, że zamiast splotu 2D, możemy obliczyć to samo używając dwóch zwojów 1D. Oszczędza to wiele obliczeń. W przypadku najmniejszego możliwego do wyobrażenia jądra Gaussa masz 5 próbek wzdłuż każdego wymiaru. Splot 2D wymaga 25 mnożeń i dodań, dwa zwoje 1D wymagają 10. Im większe jądro lub więcej wymiarów obrazu, tym większe oszczędności obliczeniowe są. Zatem LoG można obliczyć przy użyciu czterech zwojów 1D. Samego jądra LoG nie można jednak rozdzielić. Istnieje przybliżenie, w którym obraz jest najpierw spleciony z jądro Gaussa, a następnie $ \ nabla ^ 2 $ jest zaimplementowane przy użyciu skończonych różnic, co prowadzi do jądra 3×3 z -4 w środku i 1 w jego czterech sąsiadujących krawędziach. Falkowy Ricker lub meksykański operator kapelusza są identyczne z LoG, aż do skalowania i normalizacji . Różnica Gaussa Różnica Gaussa ( DoG) obrazu $ f $ można zapisać jako $$ f * g _ {(1)} – f * g _ {(2)} = f * (g _ {(1)} – g_ { (2)}) $$ Tak więc, tak jak w przypadku LoG, DoG można zobaczyć en jako pojedynczy nierozdzielny splot 2D lub suma (różnica w tym przypadku) dwóch rozdzielalnych splotów. Patrząc na to w ten sposób, wygląda na to, że użycie DoG nad LoG nie ma przewagi DoG jest przestrajalnym filtrem środkowoprzepustowym, LoG nie jest przestrajalny w ten sam sposób i powinien być postrzegany jako operator pochodnej. DoG pojawia się również naturalnie w ustawieniu skali-przestrzeni, gdzie obraz jest filtrowany w wielu skalach (Gaussian z różnymi sigmami), różnica pomiędzy kolejnymi skalami to DoG. Istnieje przybliżenie jądra DoG, które można oddzielić, zmniejszając koszt obliczeniowy o połowę, chociaż przybliżenie to nie jest izotropowe, co prowadzi do zależności obrotowej filtra. Kiedyś pokazałem (dla mnie) równoważność LoG i DoG, dla DoG, gdzie różnica w sigma między dwoma jądrami Gaussa jest nieskończenie mała (aż do skalowania). Nie mam zapisów na ten temat, ale nie było to trudne do pokazania. Inne formy obliczania tych filtrów Laurent „odpowiedź wspomina o filtrowaniu rekurencyjnym, a OP wspomina o obliczeniach w dziedzinie Fouriera. Pojęcia te mają zastosowanie zarówno do LoG, jak i DoG. Gaussa i jego pochodne można obliczyć za pomocą przyczyny i anty-przyczynowy filtr IIR. Zatem wszystkie wymienione powyżej zwoje 1D można zastosować w stałym czasie sigma. Zauważ, że jest to wydajne tylko dla większych sigm. Podobnie, każdy splot można obliczyć w domenie Fouriera, więc zarówno jądra DoG, jak i LoG 2D można przekształcić do domeny Fouriera (lub raczej tam obliczyć) i zastosowane przez mnożenie. Podsumowując Nie ma znaczących różnic w złożoności obliczeniowej tych dwóch podejść. Nie znalazłem jeszcze dobrego powodu, aby oszacować LoG za pomocą DoG. Komentarze To fantastyczna odpowiedź! ' Mam zamiar zaktualizować to jako nową odpowiedź, a nie że Laurent ' odpowiedź jest błędna lub niekompletna, ale poświęciłeś trochę czasu, aby dodać świetną drugą perspektywę do pytania, na które odpowiedziała rocznica. Spotkanie DoG i LoG na ” szczekanie ” skala Falka Rickera, (izotropowa) falka Marra, meksykański kapelusz czy Laplacianin Gaussa należą do tej samej koncepcji: ciągłe dopuszczalne falki (spełniające określone warunki). Tradycyjnie falka Rickera jest wersją 1D. Falka Marr lub kapelusz meksykański to nazwy nadawane w kontekście dekompozycji obrazu 2D, możesz na przykład rozważyć Sekcja Panorama na wieloskalowe reprezentacje geometryczne, przeplatające się przestrzenne, kierunkowe i selektywność częstotliwościowa , Przetwarzanie sygnału, 2011, L. Jacques i in. Laplacian of Gaussian to wielowymiarowe uogólnienie. Jednak w praktyce ludzie akceptują różne typy dyskretyzacji na różnych poziomach. Zwykle wierzę (chyba że podano więcej szczegółów), że dyskretne jądro gradientowe o wartości 3 $ \ razy 3 $ zastosowane do Gaussa nie jest oryginalnym Rickerem, ale uproszczeniem, które wyjaśnia subtelne różnice w wykresie. Interesują mnie referencje. Rzeczywiście, możesz mieć co najmniej dwie naturalne dyskretyzacje operatora laplacowskiego 3 $ \ times 3 (sąsiedzi 4- i 8): $$ \ begin {pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 4 & – 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ \ end {pmatrix} $$ lub $$ \ begin {pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ -1 & 8 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ \ end {pmatrix} $$ Istnieją również inne przybliżenia, na przykład jądro 5 $ \ times 5 $ lub inne awatary Laplacian / Laplacian of Gaussian . Przy odpowiednim wyborze współczynników wariancji $ \ sigma_1 $ i $ \ sigma_2 $ (zwykle około 1,6), a różnica Gaussa zapewnia ładne, rozdzielne przybliżenie t o LoG (patrz na przykład Fast Almost-Gaussian Filtering , P. Kovesi). Te Gaussa można z kolei przybliżyć za pomocą rekurencyjnych przybliżonych Gaussa . Ale zastosowano inne współczynniki, na przykład w niektórych piramidach Laplacian, że przekształcić DoG bardziej w bardziej ogólne filtry pasmowoprzepustowe lub detektory krawędzi. Ostatnia wzmianka: Dopasowywanie obrazów przy użyciu uogólnionych punktów zainteresowania w przestrzeni skali i przestrzeni , T. Lindeberg, 2015. Komentarze Bardzo pouczające, dziękuję!Więc brzmi jak z Fast Gaussian Smoothing , że DoG ma zalety obliczeniowe, ponieważ można to zrobić bezpośrednio w domenie przestrzennej, więc wyobrażam sobie np. Przetwarzanie sygnału na chipie dla CCD / zintegrowanego widzenia komputerowego. Ponadto Panorama wygląda ogólnie jak fantastyczna lektura, dzięki! Dzięki szybkim przybliżeniom rzeczywiście można wykonać wiele operacji niezależnych od skali Gdzie skąd bierze się stosunek 1,6? Jeśli napiszesz matematykę, zobaczysz, że istnieje dokładna równoważność między drugą pochodną Gaussa i różnicą Gaussa z nieskończenie małą różnicą w sigma (aż do skalowania). Od Marra i Hildreth, 1980, dodatek B, nazywają to ” najlepszym przybliżeniem inżynieryjnym „, z kompromisem między przepustowością a czułością, na podstawie na krzywych zalet, zmieniając stosunek szerokości. W przeszłości spotkałem kilka prac ludzi z Delft o tym samym nazwisku. Zbieg okoliczności? @LaurentDuval: Zrobiłem doktorat w Delft. Nie ma tam innych osób o moim imieniu, AFAIK. Widzę, jak można uzyskać (subiektywne) optimum w oparciu o czułość i przepustowość. Jeśli stosunek jest zbyt mały, odpowiedź jest zbyt niska, prawdopodobnie bardziej zależna od szumu dyskretyzacji niż czegokolwiek innego; jeśli współczynnik jest zbyt wysoki, ' nie jest interesującym filtrem. Ma sens. Dzięki!